來美後為孫兒輩複習數學課業時，在教科書上看到一個智力測驗題目。經試作後，認為具有相當啟發效用。特在此提出供大家參閱，動動腦筋，或許可能增加與兒孫們溝通之話題。
圖一
問題是將 1 至 12 等十二個整數分列放置在排成六角星形之十二個圓圈內（如圖一），每圈一數不重複，而使每邊上四數之和相等，如何排列？
解決此一問題，沒有一定的數學方法與公式可用，只有試排一途。在試排前，將已知及需適合之條件加以組合分析，可獲得解之其他性質，藉以找出試排之捷徑。在此先略予提示如下：
圖二
首先假設圖二為一解，圖中 Ai，i＝1 至 12，分別代表 1 至 12 等十二個整數。若每邊上四數之和為 S，即：
A2＋A6＋A9＋A12＝S…（1）
A1＋A3＋A6＋A8＝S…（2）
A1＋A4＋A7＋A11＝S…（3）
A5＋A7＋A10＋A12＝S…（4）
A2＋A3＋A4＋A5＝S…（5）
A8＋A9＋A10＋A11＝S…（6）
目前雖不知每一 Ai 代表之確實數字，但由加法次序可換律可得
A1＋A2＋A3＋…＋A11＋A12＝1＋2＋3＋…＋12＝78…（7）
將上列七式作適當之組合，可得解之其他性質如下：
（一）將 1 至 6 式相加得 2（A1＋A2…＋A12）＝6S
再將 7 式代入上式得 S＝1/6 × 2（78）＝26…（8）
即每邊四數之和應為 26…… （性質一）
（二）由 1＋4＋5＝2＋3＋6，略去兩端相同部份並除以 2 得
A2＋A5＋A12＝A1＋A8＋A11…（9）
即解之不相鄰三頂點上數字之和等於另三頂點上數字之和……（性質二）
（三）再由（1）＋（4）＋（6）＝（2）＋（3）＋（5）
略去兩端相同部份並除以 2 得
A1＋A3＋A4＝A12＋A9＋A10……（10）
由上式可知，解之任一頂點上數字與其相鄰兩數相加之和，等於其相對頂點上數字與該數相鄰兩數相加之和……（性質三）
（四）由（7）–（5）–（6）可得
A1＋A6＋A7＋A12＝26……（11）
同理 A2＋A9＋A4＋A11＝A5＋A3＋A10＋A8＝26…（12）
由上兩式推知，可知此六角星形可看成由三個菱形所組成而每一菱形頂點上四數之和均為 26…（性質四）
（五）5＝12（第二部份），略去兩端相同部分
（A3＋A5）得 A2＋A4＝A8＋A10…（13）
同理可得 A3＋A5＝A9＋A11；A1＋A7＝A2＋A9；
A4＋A11＝A6＋A12；A1＋A6＝A5＋A10；
A3＋A8＝A7＋A12…（14）
即任一菱形相鄰頂點上兩數之和等於其餘兩頂點所在邊上屬於另一菱形兩頂點中兩數之和…（性質五）
（六）四數之和為 26，則該四數可能均為奇數或均為偶數或兩奇兩偶等三種情況，設若組成星形三菱形中有一菱形上四數均為奇數則剩餘之兩奇數及六偶數分佈在另兩菱形上。其中任一奇數，不論放置在何處，經過該處之兩邊上，每邊必需再有一奇數（原菱形上四奇數除外，因該四奇數在邊上已成雙成對）方能使該兩邊上四數之和均為偶數，但除此奇數外僅餘一奇數故無此可能。同理亦可推得一菱形上均為偶數也無法達成每邊上四數之和均為偶數之需求。故僅有三菱形上四數均為兩奇兩偶方有組成合於條件排列即解之可能。
（七）菱形上四數為兩奇兩偶之排列共有三種形式如圖三標示：
圖中 O1 及 O2 為奇數，E1 及 E2 為偶數，由以上三型排列可組合成八個可能合於條件（每邊四數之和為偶數）之星形排列。[下一篇：六角星形數字之排列（中）]
菱形排列
同一系列：六角星形數字之排列（下）
